Jakże piękne fraktale…

Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji fraktali, natomiast rzeczą pewną jest to, że mają one bardzo ciekawe własności matematyczne i odzwierciedlenie w wielu przykładach w otaczającym nas świecie.

Fraktal określa się jednaj jako zbiór, który:

  • ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
  • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,
  • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,
  • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,
  • ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
  • ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd.

a dokładniej, fraktalem nazywa się zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość.

Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.[1]

źródło
źródło

Fraktale i analiza fraktalna wykorzystywane są między innymi do[2]:

  1. Opisu krajobrazu ekologicznego w przestrzeni (wyjaśnienie związków między zajmowanym obszarem a procesami wewnątrz ekosystemu),
  2. Projektowania budynków – zastosowanie obiektów fraktalnych,
  3. Tworzenia obrazów które nie powodują żadnych skojarzeń – wykorzystane w psychologii,
  4. Sztucznego generowania na komputerze wirtualnych światów do złudzenia przypominających rzeczywistość,
  5. Lepszego poznania danych finansowych pochodzących z giełdy papierów wartościowych – fraktale finansowe,
  6. Interpretacji obrazów medycznych pozwalających odróżnić stan patologiczny od stanu normalnego.

Oo przykłady fraktali:

Enmedio Island. Huelva. Zdjęcie przedstawia kaprysy sieci potoków, strumieni i kanałów kształtowanych przez dynamikę osadów i pływów.
Fraktal wygenerowany komputerowo
Fraktal wygenerowany komputerowo
Fiordy Sognefjorden i Hardangerfjorden
Zdjęcie wykonane teleskopem Hubble’a
Chmura
Paproć
Płuca
Fraktal Julia
Kalafior Romanesco
Dywan
Gromada kulista
Pioruny
Krople rosy na pajęczynie
Fraktal w przyrodzie
Najbardziej trywialny przykład…
Szron na szybie
Osławione kręgi w zbożu
Graficzna wariacja na temat fraktali
Graficzna wizualizacja równania Mandelbrota
Kalafior

Polecam również galerie fraktali na stronach:

Samopodobieństwo [3]

Bardzo dobrą, zaczerpniętą z natury ilustracją samopodobieństwa są np. warzywa – kalafior lub będące skrzyżowaniem kalafiora i brokułu – romanesco (rys. po prawej). Gdy oglądamy tę roślinę widzimy pewien kształt. Roślina ta dzieli się na mniejsze części, z których każda wygląda jak pomniejszona całość (patrz animacja). Te z kolei dzielą się na jeszcze mniejsze detale będące równocześnie podobne do całości i do części z której je wydzielono. Właśnie taką cechę nazywamy samopodobieństwem.

W „naturalnych” przykładach samopodobieństwa własność ta przenosi się na trzecią, może czwartą generację, gdyż na pewnym etapie części rośliny stają się zbyt małe by je dzielić. Poza tym, w przypadku romanesco czy kalafiora część nigdy nie jest idealnym pomniejszeniem całości.

W matematycznym modelu fraktali własność samopodobieństwa przenosi się na następną generację nieskończenie wiele razy. Determinuje to powstanie nowych pojęć takich jakwymiar fraktalny.

Zbiór Cantora [3]

Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka jednostkowego [0,1]. Konstruowanie zbioru wygląda następująco: zadany odcinek dzielimy na trzy równe części i usuwamy odcinek środkowy, pozostawiając punkty brzegowe. Takiej samej operacji dokonujemy dla pozostałych dwóch odcinków, następnie czterech itd. W taki sposób uzyskujemy zbiór o nieprzeliczalnej ilości punktów i długości równej zero.

Zauważmy, że do zbioru Cantora z pewnością należą liczby 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, 1/27, 2/27 itd. Co do nich mamy pewność, że niezależnie od tego jak wiele razy usuwaliśmy odcinki, punkty te nie zostaną usunięte. Ponadto są one związane z potęgami 1/3, co jest bardzo ważną cechą podczas przeprowadzania szczegółowej charakterystyki przedstawionego zbioru.

Trójkąty Sierpińskiego [3]

Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora. Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie, jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich czasów.

Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem punktów płaszczyzny, które pozostaną po wykonaniu nieskończenie wielu kroków następującej konstrukcji: mając trójkąt równoboczny na płaszczyźnie (jego brzegi wraz z wypełnieniem) wyznaczamy punkty będące środkami trzech jego boków, po czym usuwamy trójkąt zawierający się między tymi punktami. W ten sposób otrzymujemy trzy przystające trójkąty, których boki są równe połowie boku trójkąta początkowego. Następnie powtarzamy tą procedurę dla trzech „nowych” trójkątów, itd. Pierwsze kilka kroków konstrukcji przedstawia poniższa animacja:

 

kliknij na obrazek

Polsce trójkąt Sierpińskiego jest znany jako logo Olimpiady Matematycznej.

Dywan Sierpińskiego [3]

Do galerii fraktali klasycznych Sierpiński dodał jeszcze tzw. dywan Sierpińskiego. Struktura taka powstaje w następujący sposób: dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego wnętrze (część środkowego). To samo robimy z pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym kroku – z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema kwadratami itd.

To co pozostanie po nieskończenie wielu krokach to właśnie dywan Sierpińskiego. Charakteryzowany jest jako zbiór spójny, nigdzie gęsty, o polu równym zero.

Przestrzenne interpretacje fraktali Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego mają również swoje przestrzenne interpretacje. Oto zdjęcia:

Piramida Sierpińskiego
Kostka Mengera

Krzywa Kocha [3]

Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane wstępnie na odcinku. Odcinek dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej części wstawiamy trójkąt równoboczny – o boku równym długości jednej części – i usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora (krok pierwszy). Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy części i postępujemy jakw kroku pierwszym.

Kolejne kroki przedstawia rysunek:

Krzywa Kocha, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.

Zbiory Julii [3]

Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.

Kilka przykładów zbiorów Julii:

Fraktale Mandelbrota [3]

Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.

Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko obiegły cały świat.

Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbiorowi Julii. Ponadto matematycy udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.

Oto przyklady:

Fraktale Mandelbrota również mają swoje przestrzenne wizualizacje:

I na sam koniec, jako, że jeszcze jest okres wielkanocny jeszcze jeden „świąteczny” fraktal.

źródło

Powyższy artykuł powstał w głównej mierze na podstawie informacji umieszczonych na stronie 

[3http://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_fraktale_i_chaos/index.php

Autor tej strony jeszcze dokładniej wyczerpuje temat, dlatego odsyłam Was na tą stronę i zachęcam do jeszcze lepszego poznania fascynujących fraktali!

 

Inne źródła:

1 Comment

Dodaj komentarz